2025 Планиметрия. Математика, профильный ЕГЭ. Задание 17

Окружность с центромOвысекает на всех сторонах трапецииABCDравные хорды. а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке. б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторонуABв точкахKиLтак, чтоAK=15, KL=6, LB=5.

ТочкаO— центр окружности, описанной около остроугольного треугольникаABC,аBH— высота этого треугольника. а) Докажите, что углыABHиCBOравны. б) НайдитеBH,еслиAB=16, BC=18, BH=BO.

В треугольникеABCпроведена биссектрисаAM.Прямая, проходящая через вершинуBперпендикулярноAM,пересекает сторонуACв точкеN; AB=6, BC=5, AC=9. а) Докажите, что биссектриса углаCделит отрезокMNпополам. б) ПустьP— точка пересечения биссектрис треугольникаABC.Найдите отношениеAP:PN.

Один из двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырёхугольника, делит его площадь пополам, а другой — в отношении11:17. а) Докажите, что данный четырёхугольник - трапеция. б) Найдите отношение оснований этой трапеции.

ТочкаE— середина боковой стороныCDтрапецииABCD. На сторонеABотмечена точкаKтак, что прямыеCKи параллельны. ОтрезкиCKиBEпересекаются в точкеO. а) Докажите, чтоCO=KO. б) Найдите отношение основанийBCиADесли площадь треугольникаBCKсоставляет\(\dfrac{9}{64}\)площади трапеции.

Окружность с центром\(O_{1}\)касается основанийBCиADи боковой стороныABтрапецииABCD.Окружность с центром\(O_{2}\) касается сторонBC, CDиAD.Известно, чтоAB=10, BC=9, CD=30, AD=39. а) Докажите, что прямая\(O_{1}O_{2}\)параллельна основаниям трапецииABCD. б) Найдите\(O_{1}O_{2}.\)

Две окружности касаются внутренним образом в точкеA,причём меньшая окружность проходит через центрOбольшей. ДиаметрBCбольшей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точкеM,отличной отO.ЛучиAOиAMпересекают большую окружность в точкахPиQсоответственно. ТочкаCлежит на дугеAQбольшей окружности, не содержащей точкуP.Известно, что\(\sin \angle AOC=\dfrac{\sqrt{15}}{4}.\)ПрямыеPCиAQпересекаются в точкеK. а) Докажите, что прямыеPQиBCпараллельны. б) Найдите отношение\(QK{:}KA.\)