2025 Прикладные задачи. Математика, профильный ЕГЭ. Задание 9

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону\(m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}},\)где\(m_0\)— начальная масса изотопа,t— время, прошедшее от начального момента,T— период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа\(88\text{ мг}.\)Период его полураспада составляет\(6\text{ мин}.\)Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна\(11\text{ мг}.\)

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью\(v_0=14\text{ м/с},\)начал торможение с постоянным ускорением\(a=2\text{ м/с}^2.\)Заtсекунд после начала торможения он прошёл путь\(S=v_0t-\dfrac{at^2}{2}\text{ (м).}\)Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал33метра. Ответ дайте в секундах.

Двигаясь со скоростью\(v=4\text{ м/с},\)трактор тащит сани с силой\(F=47\text{ кН},\)направленной под острым углом\(\alpha\)к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле\(N = Fv\cos \alpha.\)Найдите, при каком угле\(\alpha\)(в градусах) эта мощность будет равна\(94\text{ кВт}\)(кВт — это\(\dfrac{\textrm{кН}\cdot\textrm{м}}{\textrm{с}}\)).

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону\(h(t)=1{,}2+10t-5t^2,\)гдеh— высота в метрах,t— время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее6метров?

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон\(pV^k = 10^4 \text{ Па} \cdot \text{м}^5,\)гдеp— давление газа в паскалях,V— объём газа в кубических метрах,\(k=\dfrac{5}{3}.\)Найдите, какой объёмV(в куб. м) будет занимать газ при давленииp,равном\(3{,}2\cdot 10^5 \text{ Па}.\)

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала\(f_0=170 \text{ Гц}\)и определяется следующим выражением:\(f =f_0 \dfrac{c + u}{c - v}\text{( Гц)},\)гдеc— скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а\(u=11\text{ м/с}\)и\(v=10\text{ м/с}\)— скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скоростиc(в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмникеfбудет не менее\(180\text{ Гц}?\)

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет\(R_1=48\text{ Ом}.\)Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление\(R_2\)этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями\(R_1\)и\(R_2\)их общее сопротивление задаётся формулой\(R_{{\text{общ}}} = \dfrac{{R_{1} R_{2} }}{{R_{1} + R_{2}}},\)а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше \(12\text{ Ом}.\)Ответ дайте в омах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому\(P = \sigma ST^4,\)гдеP— мощность излучения звезды (в ваттах),\(\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}\dfrac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}^4}\)— постоянная,S— площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), аT — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна\(\dfrac{1}{125} \cdot 10^{20}\text{ м}^2,\)а мощность её излучения равна\(4{,}56\cdot 10^{26} \text{ Вт}.\)Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Два тела, массой\(m=2\text{ кг}\)каждое, движутся с одинаковой скоростью\(v=6\text{ м/с}\)под углом\(2\alpha\)друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле\(Q = mv^2 \sin ^2 \alpha,\)гдеm— масса в килограммах,v— скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом\(2\alpha\)(в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее18джоулей.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением\(a=4800\text{ км/ч}^2.\)Скоростьvвычисляется по формуле\(v=\sqrt{2la},\)гдеl— пройденный автомобилем путь. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости\(120\text{ км/ч}.\)

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времениv=3моля воздуха объёмом\(V_1=32\text{ л},\)медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма\(V_2.\)Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением\(A = \alpha \upsilon T\log _2 \dfrac{V_1}{V_2},\)где\(\alpha=5{,}75\dfrac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}\)— постоянная, а \(T = 300\text{ K}\)— температура воздуха. Найдите, какой объём\(V_2\)(в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в\(15 525\text{ Дж.}\)

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону\(H\left(t\right) = at^2 + bt + H_0,\)где\(H_0=5\text{ м}\)— начальный уровень воды, \(a=\dfrac{1}{500}\text{ м/мин}^2\)и\(b=-\dfrac{1}{5}\text{ м/мин}\)— постоянные,t— время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне\(T_{\text{п}} = 24\,^\circ {\rm{C}},\)через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды\(m = 0{,}6 \text{ кг/с}.\)Проходя по трубе расстояниеx,вода охлаждается от начальной температуры\(T_{\text{в}} = 76^\circ {\rm{C}}\)до температурыT,причём\(x = \alpha \dfrac{cm}{\gamma }\log _2 \dfrac{{T_{\text{в}} - T_{\text{п}} }}{{T - T_{\text{п}} }},\)где\(c = 4200\dfrac{\text{Вт}\cdot\text{с}}{{{\text{кг}} \cdot \,^\circ {\rm{C}}}}\)— теплоёмкость воды,\(\gamma = 36\dfrac{{{\text{Вт}}}}{{{\text{м}} \cdot \,^\circ {\rm{C}}}}\)— коэффициент теплообмена, а\(\alpha=0{,}7\)— постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна\(98\text{ м}.\)

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением\(a\text{ км/ч}^2.\)Скоростьvвычисляется по формуле\(v = \sqrt {2la},\)гдеl— пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав\(0{,}3\)километра, приобрести скорость\(60\text{ км/ч}.\)Ответ дайте в\(\text{км/ч}^2.\)

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы:\(T(t) = T_0 + bt + at^2,\)гдеt— время в минутах,\(T_0=1400\text{ K},\) \(b=180\text{ К/мин}.\)\(a=-15\text{ К/мин}^2,\)Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше\(1880\text{ K}\)прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора\(C = 5 \cdot 10^{-6}\text{ Ф}.\)Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением\(R = 2 \cdot 10^6\text{ Ом}.\)Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе\(U_0 = 32\text{ кВ}.\)После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значенияU(кВ) за время, определяемое выражением\(t=\alpha RC\log _{2} \dfrac{U_0}{U}\text{ с},\) где\(\alpha=0{,}7\)— постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошла\(21\text{ с}.\)Ответ дайте в киловольтах.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием\(f=30\text{ см}.\)Расстояние\(d_1\)от линзы до лампочки может изменяться в пределах от60до80см, а расстояние \(d_2\)т линзы до экрана — в пределах от30до50см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение\(\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}.\)Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ дайте в сантиметрах.

Наблюдатель находится на высотеh,выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле\(l = \sqrt {\dfrac{Rh}{500}},\)где\(R = 6400\text{ км}\)— радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии60километров? Ответ дайте в метрах.

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением\(p_1V_1^{1{,}4} = p_2V_2^{1{,}4},\)где\(p_1\)и\(p_2\)— давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях,\(V_1\)и\(V_2\)— объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен\(28{,}8\text{ л},\)а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало128атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Груз массой\(0{,}06\text{ кг}\)колеблется на пружине. Его скоростьvменяется по закону\(v=v_0\sin \dfrac{2\pi t}{T},\)гдеt— время с момента начала колебаний,\(T=12\text{ с}\)— период колебаний,\(v_0=0{,}6\text{ м/с}.\)Кинетическая энергияE(в джоулях) груза вычисляется по формуле\(E = \dfrac{mv^2}{2},\)гдеm— масса груза в килограммах,v— скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через44секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.