2025. Стереометрия. Математика, профильный ЕГЭ. Задание 14

В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) на ребре \(AA_{1}\) отмечена точка K, причём \(AK:KA_{1}=1:3.\) Через точки K и B проведена плоскость \(\alpha,\) параллельная прямой AC и пересекающая ребро \(DD_1\) в точке M. а) Докажите, что точка M — середина ребра \(DD_1.\) б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью αα, если AB=5 и \(AA_1=4.\)

В правильной пирамиде SABC точки M и N — середины рёбер AB и BC соответственно. На боковом ребре SA отмечена точка K. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырёхугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q. а) Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды. б) Найдите угол между плоскостями MNK и ABC, если AB=12, SA=14 и SK=5.

Основанием прямой треугольной призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые \(CA_{1}\) и \(AB_{1}\) перпендикулярны. а) Докажите, что \(AA_{1}=AC.\) б) Найдите расстояние между прямыми \(CA_{1}\) и \(AB_{1},\) если BC=3 и AC=6.

Сечением прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) плоскостью \(\alpha,\) содержащей прямую \(BD_{1}\) и параллельной прямой AC, является ромб. а) Докажите, что грань ABCD — квадрат. б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(BCC_{1},\) если \(AA_1=8, AB=3.\)

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки \(B_1\) и \(C_1,\) причём \(BB_1\) — образующая цилиндра, а отрезок \(AC_1\) пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что прямые AB и \(B_1C_1\) перпендикулярны. б) Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если \(AB=12, B_1C_1=9, BB_1=8.\)

На ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M, причёмSM:MD=6:1. Точки P и Q — середины рёбер BC и AD соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит прямоугольник ABCD. Основанием высоты пирамиды является точка пересечения диагоналей основания. Известно, что \(AB=4\sqrt5\) и \(BC=4\sqrt{10}.\) Из точек A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB. а) Докажите, что P — середина BQ. б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если AS=10.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания выбрана точка \(C_1,\) причём \(CC_1\) — образующая цилиндра, а отрезок AC — диаметр основания. Известно, что \(AB=\sqrt{30}, CC_1=2\sqrt{15}, \angle ACB=30^\circ.\) а) Докажите, что угол между прямыми \(AC_1\) и BC равен \(45^\circ.\) б) Найдите расстояние от точки B до прямой \(AC_1.\)

На ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M, причём SM:MD=1:4. Точки P и Q — середины рёбер BC и AD соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Основанием прямой треугольной призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые \(CA_{1}\) и \(AB_{1}\) перпендикулярны. а) Докажите, что \(AA_{1}=AC.\) б) Найдите расстояние между прямыми \(CA_{1}\) и \(AB_{1},\) если BC=8 и AC=7.

В правильной пирамиде SABC точки M и N — середины рёбер AB и BC соответственно. На боковом ребре SA отмечена точка K. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырёхугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q. а) Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды. б) Найдите угол между плоскостями MNK и ABC, если AB=6, SA=12 и SK=3.

Длина диагонали куба \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) равна \(3\sqrt{3}.\) На луче \(A_{1}C\) отмечена точка P так, что \(A_{1}P=4\sqrt{3}.\) а) Докажите, что \(PBDC_{1}\) — правильный тетраэдр. б) Найдите длину отрезка AP.

Основанием прямой четырёхугольной призмы \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) является ромб ABCD. Известно, что \(AB=AA_{1}.\) а) Докажите, что прямые \(A_{1}C\) и BD перпендикулярны. б) Найдите объём призмы, если \(A_{1}C=BD=2.\)

Основанием прямой четырёхугольной призмы \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) является ромб ABCD. Известно, что \(AB = AA_1.\) а) Докажите, что прямые \(A_{1}C\) и BD перпендикулярны. б) Найдите объём призмы, если \(A_1C = BD = 4.\)

Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит прямоугольник ABCD. Основанием высоты пирамиды является точка пересечения диагоналей основания. Известно, что \(AB=2\sqrt{3}\) и \(BC=2\sqrt{6}.\) Из точек A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB. а) Докажите, что P — середина BQ. б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если AS=6.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания выбрана точка \(C_1,\) причём \(CC_1\) — образующая цилиндра, а отрезок AC — диаметр основания. Известно, что \(AB=\sqrt{6}, CC_{1}=2\sqrt{3}, \angle ACB=30^{\circ}.\) а) Докажите, что угол между прямыми \(AC_1\) и BC равен \(45^{\circ}.\) б) Найдите расстояние от точки B до прямой \(AC_1.\)

В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) на ребре \(AA_1\) отмечена точка K, причём \(AK:KA_{1}=1:3.\) Через точки K и B проведена плоскость \(\alpha,\) параллельная прямой AC и пересекающая ребро \(DD_1\) в точке M. а) Докажите, что точка M — середина ребра \(DD_1.\) б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью \(\alpha,\) если CB=3 и \(BB_1=4.\)

Сечением прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) плоскостью \(\alpha,\) содержащей прямую \(BD_{1}\) и параллельной прямой AC, является ромб. а) Докажите, что грань ABCD — квадрат. б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(BCC_{1},\) если \(AA_{1}=6, AB=4.\)

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки \(B_1\) и \(C_1,\) причём \(BB_1\) — образующая цилиндра, а отрезок \(AC_1\) пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что прямые AB и \(B_1C_1\) перпендикулярны. б) Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если \(AB=20, B_1C_1=15, BB_1=7.\)

Длина диагонали куба \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) равна 3. На луче \(A_{1}C\) отмечена точка P так, что \(A_{1}P=4.\) а) Докажите, что \(PBDC_{1}\) — правильный тетраэдр. б) Найдите длину отрезка AP.