2025 Задачи про числа. Математика, профильный ЕГЭ. Задание 19

Даны 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Известно, что сумма любых двух из этих чисел меньше суммы любых трёх из этих 10 чисел. Какое минимальное значение может принимать сумма 10 данных чисел?

Участники голосования на сайте выбирают лучшего футболиста (каждый голосует лишь за одного футболиста). На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, поданных за него, в процентах, округлённая до ближайшего целого числа (например, \(10{,}3\%,\) \(11{,}5\%\) и \(12{,}7\%\) округляются до 10, 12 и 13 соответственно). Всего было подано 13 голосов, и рейтинг футболиста Иванова был равен 31. Увидев это, Вася отдал свой голос за Иванова. Чему теперь стал равен рейтинг футболиста Иванова?

Участники голосования на сайте выбирают лучшего футболиста из 145 кандидатов (каждый голосует лишь за одного футболиста). На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, поданных за него, в процентах, округлённая до ближайшего целого числа (например, \(10{,}3\%,\) \(11{,}5\%\) и \(12{,}7\%\) округляются до 10, 12 и 13 соответственно). Вася проголосовал за футболиста Петрова. Могла ли от этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться хотя бы на 30?

Выступление спортсмена оценивают 7 судей, каждый судья выставляет оценку — целое число баллов от 0 включительно до 10 включительно. Известно, что все судьи выставили различные оценки. Результат спортсмена по старой системе оценивания — это среднее арифметическое семи оценок судей. Обозначим этот результат через A. Результат спортсмена по новой системе оценивания получается так: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и считается среднее арифметическое оставшихся пяти оценок. Обозначим этот результат через B. Укажите наибольшее возможное значение числа A-B.

На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо нескольких (возможно, одного) из чисел на доске написали числа, меньшие первоначальных на 1. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли. Среднее арифметическое первоначально написанных чисел было равно 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел получиться равным 34?

Вдоль окружности расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу) в произвольном порядке. Затем посчитали 21 число — разности между двумя соседними числами (из большего числа вычитается меньшее). Могли ли все эти числа быть не меньше 10?

Бухгалтеру требуется выдать премии сотрудникам на общую сумму 600~000 рублей (размер премии каждого сотрудника — неотрицательное целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей. При каком наибольшем количестве сотрудников задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий (не исключено, что кому-то премии вообще не выписали)?

Участники голосования на сайте выбирают лучшего футболиста (каждый голосует лишь за одного футболиста). На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, поданных за него, в процентах, округлённая до ближайшего целого числа (например, \(10{,}3\%,\) \(11{,}5\%\) и \(12{,}7\%\) округляются до 10, 12 и 13 соответственно). На сайте отображалось, что рейтинг футболиста Петрова равен 7. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за Петрова. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая и Васин голос, такое возможно?

На доске написали несколько (необязательно различных) двузначных натуральных чисел, не имеющих нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71). Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.