Центр описанной окружности как замечательная точка треугольника

В треугольнике ABC: I — центр вписанной окружности, точка M лежит на стороне BC, причем ∠BIM = 90◦ . Докажите, что расстояние от точки M до прямой AB равно диаметру окружности, вписанной в треугольник ABC. Первый способ. Пусть N и K — основания , проведенных к прямой AB из точек I и M соответственно. Докажем, что MK = 2IN. Обозначим через L точку пересечения прямых MI и AB. Тогда треугольник MBL — , так как его . Следовательно, MI = IL. Учитывая параллельность, получим, что в треугольнике MLK отрезок IN является средней линией. Следовательно, MK = 2NI, что и требовалось. Второй способ. Пусть прямая, проходящая через точку M и параллельная AB, пересекает прямую BI в точке P. Тогда треугольник и MI — угла PMB. Следовательно, точка I равноудалена от прямых MP и MB, то есть прямая MP является к вписанной окружности треугольника ABC. Тогда между прямыми MP и AB равно окружности, что и требовалось.