ЕГЭ №15. Преобразование логических выражений

На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула ((x ∈ A) → (x2 ≤ 100)) ∧ ((x2 ≤ 64) → (x ∈ A)) тождественно истинна при любом вещественном x. Какую наибольшую длину может иметь отрезок A?

Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21}, Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}. Известно, что выражение ((x ∈ P) → (x ∈ A)) ∨ (¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ Q)) истинно ( т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}. Известно, что выражение ( (x ∈ A) → (x ∈ P) ) ∧ ( (x ∈ Q) → ¬(x ∈ A) ) истинно (то есть принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве A.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула x & 29 ≠ 0 → (x & 12 = 0 → x & А ≠ 0) тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

Для какого наибольшего целого числа А формула ((x ≤ 9) →(x ⋅ x ≤ A)) ⋀ ((y ⋅ y ≤ A) → (y ≤ 9)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 30] и Q = [14, 23]. Укажите наибольшую возможную длину промежутка A, для которого формула ((x ∈ P) ≡ (x ∈ Q)) → ¬(x ∈ A) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула x&25 ≠ 0 → (x&9 = 0 → x&А ≠ 0) тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение (x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) → (((x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12})) истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула ((x ∈ A) → (x2 ≤ 100)) ∧ ((x2 ≤ 64) → (x ∈ A)) тождественно истинна при любом вещественном x. Какую наименьшую длину может иметь отрезок A?

Сколько существует целых значений числа A, при которых формула ((x < A) → (x2 < 100)) ∧ ((y2 ≤ 64) → (y ≤ A)) тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?