КЕГЭ № 19. Выигрышная стратегия. Решение задач на две кучи камней

Два игрока, Федя и Стёпа, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Федя. За один ход игрок может: а) добавить в любую кучу один камень; б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 129, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 4 камня, а во второй –Sкамней,1 ≤ S ≤ 124. Известно, что Стёпа выиграл своим первым ходом после первого хода Феди. Найдите минимальное значениеS, при котором это возможно.

Два игрока, Федя и Стёпа, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Федя. За один ход игрок может: а) добавить в любую кучу один камень; б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 133, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 7 камней, а во второй –Sкамней,1 ≤ S ≤ 125. Известно, что Стёпа выиграл своим первым ходом после первого хода Феди. Найдите минимальное значениеS, при котором это возможно.

Два игрока, Федя и Стёпа, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Федя. За один ход игрок может: а) добавить в любую кучу один камень; б) увеличить количество камней в любой куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 30, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче былоKкамней, а во второй –Sкамней,1 ≤ K ≤ 29, 1 ≤ S ≤ 29. Сколько существует пар(K; S), таких что Стёпа выигрывает первым ходом при любой игре Феди?

Два игрока, Федя и Стёпа, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Федя. За один ход игрок может: а) добавить в любую кучу один камень; б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 95, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 5 камней, а во второй –Sкамней,1 ≤ S ≤ 89. Известно, что Стёпа выиграл своим первым ходом после первого хода Феди. Найдите минимальное значениеS, при котором это возможно.

Два игрока, Федя и Стёпа, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Федя. За один ход игрок может: а) убрать из кучи один камень; б) уменьшить количество камней в любой куче в два раза (если количество камней нечётно, то остаётся на один камень меньше, чем убирается). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не более 18, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче былоK≥1камней, а во второй –S≥1камней,S+K ≥ 19. Известно, что из начальной позиции(M; M)Стёпа выигрывает первым ходом при любой игре Феди. При каком значенииMэто возможно?

Два игрока, Федя и Стёпа, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Федя. За один ход игрок может: а) добавить в любую кучу один камень; б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 105, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 4 камня, а во второй –Sкамней,1 ≤ S ≤ 100. Известно, что Стёпа выиграл своим первым ходом после первого хода Феди. Найдите минимальное значениеS, при котором это возможно.

Два игрока, Федя и Стёпа, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Федя. За один ход игрок может: а) добавить в любую кучу один камень; б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 83, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 5 камней, а во второй – Sкамней, 1 ≤ S ≤ 77. Известно, что Стёпа выиграл своим первым ходом после первого хода Феди. Найдите минимальное значениеS, при котором это возможно.

Два игрока, Федя и Стёпа, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Федя. За один ход игрок может: а) добавить в любую кучу один камень; б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 108, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 6 камней, а во второй –Sкамней,1 ≤ S ≤ 101. Известно, что Стёпа выиграл своим первым ходом после первого хода Феди. Найдите минимальное значениеS, при котором это возможно.

Два игрока, Федя и Стёпа, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Федя. За один ход игрок может: а) добавить в любую кучу один камень; б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 125, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 7 камней, а во второй – S камней,1 ≤ S ≤ 117. Известно, что Стёпа выиграл своим первым ходом после первого хода Феди. Найдите минимальное значениеS, при котором это возможно.

Два игрока, Федя и Стёпа, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Федя. За один ход игрок может: а) добавить в любую кучу один камень; б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 100, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 6 камней, а во второй –Sкамней,1 ≤ S ≤ 93. Известно, что Стёпа выиграл своим первым ходом после первого хода Феди. Найдите минимальное значениеS, при котором это возможно.