КЕГЭ № 20. Выигрышная стратегия. Определение выигрышной стратегии игры (одна куча камней)

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. В начальный момент в куче было 15 камней. Известно, что Петя выиграл своим вторым ходом. Какое минимальное количество камней в куче мог получить Петя?

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 7 камней или уменьшить количество камней в 2 раза. Убирать 7 камней можно только тогда, когда в куче есть не менее 7 камней. Если количество камней не кратно 2, то при уменьшении количества камней в два раза остается количество камней равное результату целочисленного деления текущего количества на 2. Например, из кучи из 19 камней можно получить кучу из 12 камней или кучу из 9 камней. Игра завершается в тот момент, когда из кучи убирается последний камень. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. убравший из кучи последний камень. В начальный момент в куче было S камней; S > 0. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: – Петя не может выиграть за один ход; – Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 83. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 83 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 82. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: – Петя не может выиграть за один ход; – Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 45. Если при этом в куче оказалось не более 68 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 43. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: – Петя не может выиграть за один ход; – Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. В ответ запишите полученные значения через пробел в порядке возрастания их числовых значений.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. В начальный момент в куче было 12 камней. Какое количество камней в куче может оказаться после второго хода Пети, если известно, что на первых двух шагах игры было выполнено одно увеличение камней в два раза и одно увеличение на один камень?

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. В начальный момент в куче было 12 камней. Какое количество камней в куче может оказаться после второго хода Пети, если известно, что на первых двух шагах игры дважды было выполнено увеличение камней в два раза?

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 7 камней или уменьшить количество камней в 2 раза. Убирать 7 камней можно только тогда, когда в куче есть не менее 7 камней. Если количество камней не кратно 2, то при уменьшении количества камней в два раза остается количество камней равное результату целочисленного деления текущего количества на 2. Например, из кучи из 19 камней можно получить кучу из 12 камней или кучу из 9 камней. Игра завершается в тот момент, когда из кучи убирается последний камень. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. убравший из кучи последний камень. В начальный момент в куче было S камней; S > 0. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Сколько существует различных значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: – Петя не может выиграть за один ход; – Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. В начальный момент в куче было 15 камней. Известно, что Петя выиграл своим вторым ходом. Какое максимальное количество камней в куче мог получить Петя?

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или добавить в кучу три камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 83. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 83 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 82. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: – Петя не может выиграть за один ход; – Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. В ответ запишите полученные значения через пробел в порядке возрастания их числовых значений.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. В начальный момент в куче было 12 камней. Какое количество камней в куче может оказаться после второго хода Пети, если Петя и Ваня могут сделать любой ход из возможных?