Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Найдитеx+y,еслиx:y=11:7и\(\text{НОД}(x;y)=21.\)

Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел в7 раз больше, чем их наибольший общий делитель. Во сколько раз сумма этих чисел больше, чем их наименьшее общее кратное?

Найдите наибольший общий делитель чисел30n+25и20n+15.

Какое наибольшее значение может принимать наибольший общий делитель натуральных чиселmиn,если произведение этих чисел равно2016?

Найдите\(\text{НОД}(2^{30}-1;2^{40}-1).\)

Длина кольцевой беговой дорожки стадиона равна400метров. При организации эстафеты точку старта и финиша решили разместить в одном месте, а длину каждого этапа сделать равной150метров. Используя условие задачи, ответьте на поставленные вопросы.

Найдите все такие простые числаp, что числаp+10 иp+20также простые. Решение При p = 3 числа p + 10 и p + 20 также простые. Так как число p — простое, то остаток от деления на чисел p + 10 и будет равен 1 или . Число 10 при делении на 3 дает остаток , а число 20 — остаток 2, следовательно, одно из чисел и p + 20 будет делиться на 3, а значит, не будет являться числом. Получаем, что единственным простым числом, удовлетворяющим данному условию, является число .

Найдите наименьшее из натуральных чисел, сумма которых равна35,а наименьшее общее кратное равно42.

Докажите, что дробь\(\frac{12n+1}{30n+2}\) несократима ни при каких натуральныхn. Доказательство Для этого достаточно доказать, что 12n + 1 взаимно просто с . Доказывать будем методом от . Предположим условие противоречивое тому, что нам надо доказать. Пусть 12n + 1 делится на и 30n + 2 делится на p. Заметим, что тогда 30n +2 - 2(12n + 1) делится на p, т. е. делится на p. Значит, p — это либо делитель числа n, либо делитель числа . Заметим, что 12n+1 взаимно просто и с 6, и с n, так как 12n делится на n и делится на 6, поэтому p не может быть числа n или числа 6. Значит, такого p не , следовательно, наше предположение неверно, т. е. данная дробь несократима.

Ирина получает пятёрку через каждые7 дней, Антон получает пятёрку через каждые 8 дней, а Елена получает пятёрку через каждые12 дней. Те дни, когда они втроём получают по пятёрке, они называют днями "знаний". Через сколько дней наступит следующий день "знаний", если известно, что сегодня тоже день "знаний"?