Подготовка к итоговой работе по курсу геометрии 7 класса. Математическая вертикаль

Неравенство треугольника. Сумма углов треугольника Неравенство треугольника описывает зависимость между длинами сторон любого треугольника. Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки. Иначе это свойство треугольника можно сформулировать так: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Сумма углов в треугольнике всегда равна \(180^\circ.\) Вопрос: выберите верный ответ. Даны два утверждения: А) Если в треугольнике ABC угол Aравен \(22^\circ,\) угол Cравен \(67^\circ,\) то сторона ACнаибольшая. Б) Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон.

Прямоугольный треугольник Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚). Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами. Свойства прямоугольного треугольника (в курсе восьмого класса будут рассмотрены и другие свойства): 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚. 2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы. И обратное утверждение: если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚. 3. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Признаки равенства прямоугольного треугольника: 1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по двум катетам). 2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по катету и прилежащему острому углу). 3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и острому углу). 4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и катету). Вопрос: отметьте верные утверждения.

Равнобедренный треугольник Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием. Свойства равнобедренного треугольника: 1. У равнобедренного треугольника углы при основании равны. 2. Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. 3. Медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны. 4. Высоты равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны. 5. Биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны. Признаки равнобедренного треугольника: Если у треугольника есть один из нижеуказанных признаков, то он равнобедренный: — два угла равны, — высота и медиана совпадают, — высота и биссектриса совпадают, — медиана и биссектриса совпадают, — две медианы равны, — две высоты равны, — две биссектрисы равны. Вопрос: верно ли, что в равнобедренном треугольнике медиана является биссектрисой?

Признаки равенства треугольников Два треугольника, которые можно совместить наложением, называются равными. Из определения непосредственно следует: в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и обратно — против равных углов лежат равные стороны. Дополнительно следует помнить, что напротив большего угла лежит большая сторона, напротив большей стороны лежит больший угол. Так, гипотенуза является наибольшей стороной прямоугольного треугольника. Теорема 1 (первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема 2 (второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим к ней углам) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема 3 (третий признак равенства треугольников — по трём сторонам) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Вопрос: верно ли, что если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны?

Углы при параллельных прямых и секущей Пусть прямая с пересекает параллельные прямые a и b. При этом образуется восемь углов (см. чертеж). Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия. - накрест лежащие углы: ∠1 и ∠7, ∠4 и ∠6; - односторонние углы: ∠4 и ∠7, ∠1 и ∠6; - соответственные углы: ∠1 и ∠5, ∠4 и ∠8, ∠2 и ∠6, ∠3 и ∠7. Свойства углов при параллельных прямых и секущей: 1. Соответственные углы равны. 2. Накрест лежащие углы равны. 3. Односторонние углы в сумме дают \(180^\circ.\) Признаки параллельности прямых: 1. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. 3. Если сумма внутренних углов равна \(180^\circ,\) то прямые параллельны. Вопрос: верно ли, что сумма накрест лежащих углов, образованных при пересечении параллельных прямых третьей, может быть равна \(180^\circ?\)

Расстояние от точки до прямой. Высота треугольника Две прямые перпендикулярны, если они пересекаются под прямым углом. Будем рассматривать прямую и точку, не лежащую на этой прямой. Проведём отрезки, соединяющие нашу точку с точками на прямой. Обратите внимание, что длины этих отрезков различны, но самый короткий отрезок тот, который перпендикулярен прямой. Это хорошо видно, если выполнить чертеж, но не будем принимать всё на веру. Для доказательства достаточно рассмотреть два отрезка, один из которых перпендикулярен прямой. Образуется прямоугольный треугольник, где перпендикуляр – катет, а второй отрезок – гипотенуза. Как известно, катет всегда короче гипотенузы. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Провести этот перпендикуляр можно единственным образом (последнее утверждение - теорема). Высота треугольника – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону. Вопрос: верно ли, что существует такой треугольник, который невозможно разрезать на два прямоугольных треугольника?

Аксиомы планиметрии Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательства. В качестве аксиом выбирают утверждения, которые просты, очевидны и не вызывают сомнений. На их основе строятся все доказательства в геометрии. Рассмотрим подробнее аксиомы планиметрии, их принято разделять на пять групп: принадлежности, расположения, измерения, откладывания, параллельности. 1. Аксиомы принадлежности 1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. 1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. 2. Аксиомы расположения 2.1. Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. 2.2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. 3. Аксиомы измерения 3.1. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. 3.2. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен \(180^\circ.\) Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. 4. Аксиомы откладывания 4.1. На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один. 4.2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей \(180^\circ,\) и только один. 4.3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой. 5. Аксиома параллельности 5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной. Вопрос: выберите схематический чертеж, соответствующий аксиоме параллельности.

Серединный перпендикуляр. Оси симметрии Серединный перпендикуляр к отрезку – прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину. Свойство серединного перпендикуляра: каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Для доказательства этого свойства необходимо соединить концы отрезка с некоторой точкой серединного перпендикуляра, не принадлежащей отрезку. Далее доказывается равнобедренность полученного треугольника. Две точки называются симметричными друг другу относительно прямой n, если прямая n перпендикулярна отрезку, который соединяет эти две точки, и проходит через его середину, то есть является серединным перпендикуляром к этому отрезку. Прямую n называют осью симметрии. Прямоугольник имеет две оси симметрии. Они проходят через середины сторон прямоугольника. Квадрат имеет четыре оси симметрии. Две оси проходят через середины сторон квадрата, ещё две содержат диагонали квадрата. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии. Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии. Вопрос: отметьте верные утверждения.

Треугольник. Чевианы Треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые; прямоугольным – если один из его углов прямой, тупоугольным – если один из его углов тупой. Чевиана – отрезок, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне. Примеры чевиан: медиана, биссектриса. Особо отметим, что высота, в общем случае, чевианой не является. Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны. (Вспомним определение биссектрисы угла – луч с началом в вершине угла и делящий его на два равных угла.) Свойство биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон угла. Для доказательства этого свойства опускаем перпендикуляры на стороны угла, получая два прямоугольных треугольника. Доказываем равенство этих треугольников по общей гипотенузе и равному острому углу. Таким образом, получаем равенство расстояний от точки на биссектрисе до сторон угла. Вопрос: верно ли, что на каждой стороне треугольника найдётся точка, равноудалённая от двух других сторон?

В квадрате ABCD на стороне AB взяли точку K, а на стороне AD точку M. Оказалось, что угол KCM равен \(50^\circ,\) а угол CMK равен \(65^\circ.\) Найдите угол BCK. В ответ запишите только число. Прежде чем читать дальше, попробуйте решить задачу самостоятельно. В случае отсутствия идей посмотрите первую подсказку и попробуйте снова. Подсказка 1. В треугольнике MCK найдите угол CKM. И сделайте вывод о виде треугольника. Подсказка 2. Докажите равенство треугольников BKC и DMC. Подсказка 3. Угол BCD составлен из двух равных углов BCK и MCD и угла KCM.

В четырёхугольнике ABCD стороны AB, BCи CD равны по длине. Угол ABC равен \(60^\circ,\) угол BCD прямой. Найдите угол ACD(в градусах). В ответ запишите только число. Прежде чем читать дальше, попробуйте решить задачу самостоятельно. В случае отсутствия идей посмотрите первую подсказку и попробуйте снова. Подсказка 1. Соедините точки A и С. Какой получился треугольник? Подсказка 2. Найдите угол АСВ. Как связаны углы АСВ, DCB и искомый угол DCA?

Дана окружность с центром О. Точки M и N - середины хорд AB и AC соответственно. Найдите угол MON в градусах, если угол BOC равен \(110^\circ,\) а точка O расположена внутри треугольника BAC. В ответ запишите только число. Прежде чем читать дальше, попробуйте решить задачу самостоятельно. В случае отсутствия идей посмотрите первую подсказку и попробуйте снова. Подсказка 1. Проведите отрезки OA, OB и OC. Используя определение окружности, сделайте вывод о виде треугольников OAB и OAC. Подсказка 2. Воспользуйтесь свойством медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию. Подсказка 3. Отрезки ON и OM являются биссектрисами треугольников AOC и AOB соответственно. Угол MON равен сумме углов MOA и NOA.

Точка Е – середина стороны CD прямоугольника ABCD. На стороне BC взяли такую точку К, что угол АЕК равен \(90^\circ.\) Найдите длину отрезка АК, если ВК=5, СК=1. В ответ запишите только число. Прежде чем читать дальше, попробуйте решить задачу самостоятельно. В случае отсутствия идей посмотрите первую подсказку и попробуйте снова. Подсказка 1. Продлите прямую АЕ до пересечения с прямой ВС (обозначим эту точку пересечения буквой Т). Подсказка 2. Обратите внимание, что углы DEA и CET вертикальные, а DE=CE по условию. Какой вывод можно сделать относительно треугольников DEA и CET? Подсказка 3. Отрезок KE является высотой и медианой в треугольнике АКТ.

В треугольнике АВС медиана BM и высота AH пересекаются в точке К. Известно, что BK=5, MK=1, а угол CBM равен \(30^\circ.\)Найдите длину высоты AH. В ответ запишите только число. Прежде чем читать дальше, попробуйте решить задачу самостоятельно. В случае отсутствия идей посмотрите первую подсказку и попробуйте снова. Подсказка 1. Проведите через точку А прямую, параллельную прямой BC. Продлите медиану BM за точку M до пересечения с проведенной прямой (обозначим, для определенности, точку пересечения буквой Т). Подсказка 2. Рассмотрите треугольники AMT и BMC. Можно ли доказать их равенство? Подсказка 3. Рассмотрите углы при параллельных прямых AT и BC. Сделайте вывод о виде треугольника ATK. Подсказка 4. Обратите внимание, что треугольники ATK и BHK являются прямоугольными и один из их острых углов равен \(30^\circ.\)

Точка E – середина стороны BC прямоугольника ABCD. На стороне CD взяли такую точку K, что луч AE – биссектриса угла BAK. Найдите длину отрезка AK, если DK=8, CK=12. В ответ запишите только число. Прежде чем читать дальше, попробуйте решить задачу самостоятельно. В случае отсутствия идей посмотрите первую подсказку и попробуйте снова. Подсказка 1. Продлите прямую AE до пересечения с прямой CD (обозначим эту точку пересечения буквой Т). Подсказка 2. Докажите равенство треугольников ABE и ECT, обратите внимание на вертикальные углы. Подсказка 3. Рассмотрите углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AT. Подсказка 4. Обратите внимание на углы треугольника AKT. Какой вывод можно сделать об этом треугольнике?