Пригласительный этап ВсОШ - 2023 в городе Москве, 10 класс, математика

Выберите числа, которые являются контрпримерами к данному утверждению: «Если сумма цифр натурального числа делится 27 ,то и само число делится 27».

Петя выписывает ряд чисел: если текущее число равно x, то следующее равно \(\dfrac{1}{1-x}\). Первое число в ряду равно 2. Чему равно пятисотое число?

Целые неотрицательные числа a, b, c, d таковы, что ab+bc+cd+da=707. Какое наименьшее значение может иметь сумма a+b+c+d?

Аня и Боря играют в камень-ножницы-бумага. В этой игре каждый игрок выбирает одну из фигур: камень, ножницы или бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень. Если игроки выбирают одинаковые фигуры, то партия заканчивается ничьей. Аня и Боря провели 25 партий. Аня выбирала камень 12 раз, ножницы — 6 раз, бумагу — 7 раз. Боря выбирал камень 13 раз, ножницы — 9 раз, бумагу — 3 раза. Ни в одной партии не было ничьей. Сколько раз могла выиграть Аня? Укажите все возможные ответы.

Среди n углов выпуклого n - угольникаn-1угол равен \(150^\circ\), а оставшийся — меньше \(150^\circ\). Для каких n это возможно? Укажите все возможные ответы.

На рисунке две окружности с центрамиAиB.Кроме того, точкиA, B и лежат на одной прямой, точкиD, B, иE также лежат на одной прямой. Найдите градусную меру угла, отмеченного знаком «?».

За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 110 человек: 50 баронов, 40 графов и 20 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа — левый и правый — имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул, но не обязательно графский.

Есть магический клетчатый лист бумаги размера\(5000\times 70\), изначально все клетки серые. Маляр встаёт на некоторую клетку и красит её в красный цвет. Каждую секунду маляр делает два шага: на одну клетку влево и на одну клетку вниз, и закрашивает красным цветом ту клетку, на которой он оказался после двух шагов. Если маляр стоит в самом левом столбце и должен сделать шаг влево, то он этим шагом телепортируется в самую правую клетку той же строки; если маляр стоит в нижней строке и должен сделать шаг вниз, то он этим шагом телепортируется в верхнюю клетку того же столбца. Через несколько ходов маляр вернулся на клетку, с которой начинал. Сколько в этот момент красных клеток на листе? На рисунке приведен пример ходов маляра: сначала маляр в клетке1, потом в клетке2 и т.п. Комментарий. Приведём другую, эквивалентную формулировку этой задачи. Из клетчатого листа бумаги\(5000\times 70\) склеивается тор, как показано на картинке. Маляр ходит по тору по диагонали. Через несколько ходов маляр вернулся на клетку, с которой начинал. Сколько в этот момент красных клеток на листе?