Пригласительный этап ВсОШ - 2023 в городе Москве, 7 класс, математика

ПустьA, B, C, D, E, F, G, H— различные цифры от 0 до 7 — удовлетворяют равенству \(\overline{ABC} + \overline{DE} = \overline{FGH}\) Найдите\(\overline{DE},\)если\(\overline{ABC}= 157.\) Запись\(\overline{ABC}\)означает трёхзначное число, состоящее из цифр A, B, C,аналогично устроены числа\(\overline{FGH}\)и\(\overline{DE}.\)

На рисунке изображены лучиOA, OB, OC, OD, OE, OFтакие, что: OB— биссектриса углаAOC; OE— биссектриса углаDOF; \(\angle{COD} = 48^{\circ}.\)\(\angle{AOF} = 148^{\circ},\) Сколько градусов составляет уголBOE?

Петя вписал все натуральные числа от 1 до 16 в клетки таблицы\(4\times 4\)так, что любые два числа, отличающиеся на 1, оказались в соседних по стороне клетках. Затем он стёр некоторые числа. Выберите все картинки, которые могли получиться.

Братья Лёша и Саша решили добраться из дома до скейт парка. Они вышли одновременно, но Лёша пошёл пешком со скейтом в руках, а Саша поехал на скейте. Известно, что Саша едет на скейте в 3 раза быстрее, чем Лёша идёт пешком со скейтом. Через некоторое время они одновременно поменяли способ передвижения: Лёша поехал на скейте, а Саша пошёл пешком. При этом скорость движения каждого из них изменилась в 2 раза: у Лёши увеличилась, а у Саши уменьшилась. Оказалось, что до скейт парка они добрались одновременно. Сколько метров проехал на скейте Саша, если расстояние от дома до скейт парка составляет 2400 метров?

ТочкиA, B, C, D, E, Fна рисунке удовлетворяют следующим условиям: * ТочкиA, C, Fлежат на одной прямой. *AB = DE = FC. *\(\angle{ABC}= \angle{DEC}= \angle{FCE}.\) *\(\angle{BAC}= \angle{EDC}= \angle{CFE}.\) *AF = 22, CE = 15. Найдите длину отрезкаBD.

В ряд стоит 10 коробок. В этих коробках лежат шарики двух цветов: красного и синего. В некоторых коробках все шарики могут быть одноцветными; пустых коробок нет. Известно, что в каждой следующей коробке (в порядке слева направо) шариков не меньше, чем в предыдущей. Также известно, что нет двух коробок с одинаковым набором красных и синих шариков. Сколько синих и сколько красных шариков лежит в самой правой коробке, если суммарно во всех коробках 4 красных и 10 синих шариков? Красные Синие

Девятизначное натуральное числоNназовём интересным , если: * Оно состоит из ненулевых цифр. * Оно делится на 4. * Любое число, получаемое из числа N с помощью перестановки цифр, делится на 4. Сколько существует интересных чисел?

Действительные числаa, b, cтаковы, что \(\begin{cases}\dfrac{ab}{a + b} = 4,\\\dfrac{bc}{b + c} = 5,\\\dfrac{ca}{c + a} = 7.\end{cases}\) Найдите значение выражения\(\dfrac{abc}{ab + bc + ca}.\)