Пригласительный этап ВсОШ - 2023 в городе Москве, 8 класс, математика

Дима и Серёжа собирали ягоды с куста малины, на котором росло 450 ягод. Серёжа при сборе чередовал действия: одну ягоду он клал в корзину, а следующую ел. Дима тоже чередовал: две ягоды он клал в корзину, а одну следующую ел. Известно, что Серёжа срывает ягоды в 2 раза быстрее Димы. В какой-то момент ребята собрали всю малину с куста. Кто из них в итоге положил в корзину больше ягод?

Чему будет равна разница? Если вы считаете, что ребята положили в корзину поровну ягод, то в ответ запишите 00.

Дана трапеция\((AD\parallel BC).\)ABCD Оказалось, что\(\angle ABD = \angle BCD.\) Найдите длину отрезкаBD, еслиBC = 49иAD = 81.

В качестве домашнего упражнения Тане задали придумать 40 примеров вида ∗+∗ = ∗, где вместо ∗ нужно вставлять различные натуральные числа (т. е. всего должно использоваться 120 различных чисел). Таня очень любит простые числа, поэтому решила использовать их как можно больше, и чтобы при этом получались правильные примеры. Какое наибольшее количество простых чисел может использовать Таня?

Прямоугольник разрезали на шесть меньших прямоугольников, площади пяти из них обозначены на рисунке. Найдите площадь оставшегося прямоугольника.

В клетках таблицы\(18 \times 18\)расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице? Примечание. Неугловыми называются клетки, находящиеся не в углу таблицы. Их ровно 320.

Чётные натуральные числаaиbтаковы, что НОД(a, b)+ НОК(a, b)=\(2^{26}\). Сколько различных значений может принимать НОК(a, b)?

Дана трапеция\((BC\parallel AD).\)ABCDТочкаHна сторонеABтакова, что\(\angle DHA = 90^\circ.\)Известно, чтоCH=CD=13иAD=23. Найдите длину отрезкаBC.

Различные положительные числаa, b, cтаковы, что \(\begin{cases} a^2 + bc = 190, \\ b^2 + ac = 202, \\ c^2 + ab = 190. \end{cases}\) Найдитеa + b + c.