Пригласительный этап ВсОШ - 2023 в городе Москве, 9 класс, математика

Улитка ползёт по прямой. В первый день она проползает 1 м вперёд и 1/2 м назад. Во второй день она проползает 1/2 м вперёд и на 1/3 м назад. В третий день она проползает 1/3 м вперёд и 1/4 м назад и так далее. На каком расстоянии от точки старта она окажется в конце 96-го дня? Ответ выразите в метрах.

Ненулевые числаa, b, c, d, e, fтаковы, что среди произведенийbcdbcf,ade,abe,иcdfровно одно положительное. Какое?

Числа от 1 до 311 разбиты на две группы: в одной 100 чисел, а в другой — 211. Оказалось, что средние арифметические чисел в двух группах равны. Найдите сумму чисел в группе из 100 чисел.

На рисункеO— центр окружности,\(AB\parallel CD.\) Найдите градусную меру угла, отмеченного знаком «?».

На доске записаны числа 2 и 11. За одно действие к обоим числам на доске прибавляется их наибольший общий делитель. Например, если в какой-то момент на доске будут числа 20 и 50, то они заменятся на числа 30 и 60. Какие числа будут на доске после 100 действий? Ответы укажите в любом порядке.

Шесть пиратов — капитан и пять членов его команды — сидят вокруг костра лицом к центру. Им надо поделить сокровище: 90 золотых монет. Капитан предлагает способ дележа (т.е. сколько должен получить каждый пират: каждому достанется целое неотрицательное число монет; разные пираты могут получить разное количество монет). После этого остальные пять пиратов голосуют за предложение капитана. Пират проголосует «за», только если он получит больше монет, чем каждый из двух его соседей. Предложение принимается, если «за» проголосуют хотя бы три из пяти членов команды. Какое наибольшее количество монет может получить капитан при таком способе дележа?

Уравнение\(x^4-13x+4=0\)имеет ровно два действительных корняaиa>b.b, Найдите значение выражения\(\dfrac{a-b}{a^4-b^4}.\)

В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь\(1, 2, 3, \dots, 10\)этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то, как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с бо́льшим количеством этажей. Чему равно максимально возможное число домов на одной стороне улицы в Междуграде?