Применение признаков делимости целых чисел: алгоритм Евклида для решения задач в целых числах

Докажите, что число, состоящее из100 нулей,100 единиц и100 двоек, не может быть точным квадратом натурального числа. Доказательство Посчитаем сумму цифр этого числа S = 100 · 1 + · 0 + 100 · 2 = . Данная сумма делится на 3, но не делится на . Но, как известно, если a2 делится , где p — число, то a2 делится на p2. Значит, S быть квадратом натурального числа, так как оно делится на 3 и не делится на 32.

Найдите остаток числа\(2^{2012}\) от деления на3. Решение Представим число в виде 22012 = (22)1006 = 1006. Четыре в любой степени даёт остаток при делении на 3. Так как 4 даёт остаток 1 при делении на , а при перемножении чисел их остатки . Тогда 4k даёт такой же остаток, что и 1k = 1. Поэтому 2012 даёт остаток 1 при делении на 3.

Найдите наименьшее четырёхзначное число, кратное5,у которого разность этого числа и числа, записанного этими же цифрами, но в обратном порядке равна3627.

Используя Алгоритм Евклида, найдите \(\text{НОД}(5160;16920).\) Решение Используя алгоритм Евклида, получаем. 16920 = · 5160 + , = 3 · 1440 + , 1440 = · 840 + , = 1 · 600 + 240 , 600 = 2 · + 120, 240 = · 120. Значит, НОД (5160;16920) = .

Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего единицы. Какова их минимальная сумма?

Составьте таблицу остатков при делении числа\(2^n\) на7.

Группу туристов решили рассадить по автобусам так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое количество пассажиров. Сначала в каждый автобус сажали по22 человека, однако оказалось, что при этом не удаётся посадить одного туриста. Когда же один автобус уехал пустым, то в оставшиеся автобусы все туристы сели поровну. В каждый автобус помещается не более32 человек. Ответьте на поставленные вопросы, используя условие задачи.

Пусть \(a=\overline{mn},\ b=\overline{nm}.\)Найдите наименьшее значение величины\(\mid{\frac{a}{b}}-2\mid.\)В ответе запишите число, умноженное на1369.

Трёхзначное число\(\overline{abc}\) делится на17, девятизначное число\(\overline{a000b000c}\) делится на37. Найдитеa+b+c.

Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — семизначное число из двоек и троек. Известно, что в кодовом числе двоек больше, чем троек. Кроме того, известно, что кодовое число делится на3 и на4. Найдите код сейфа. Решение Число делится на 4, значит, число, состоящее из двух его цифр тоже делится на 4. Рассмотрим варианты нашего числа: 1) 22 не делится на 4; 2) 23 не делится на 4; 3) 32 делится на 4; 4) не делится на 4. Значит, наш код заканчивается на . Значит, что вся сумма цифр должна делиться на , так как число делится на 3. Переберём все возможные варианты кода: 1) двоек не может быть, так как последние цифры 32. 2) 6 двоек. Сумма цифр 12 + 3 = делится на 3, значит, код делится на 3. Положение цифры 3 известно, она предпоследняя. 3) 5 двоек. Сумма цифр 10 + 6 = 16, что не делится на 3, значит, код не делится на 3. 4) 4 двойки. Сумма цифр 8 + 9 = 17, что не делится на 3, значит, код не делится на 3. 5) Меньше двоек быть не может, так как двоек больше, чем троек. Ответ. .