Профильная математика (1-12 задания)

Задание №1. Пирожок в кулинарии стоит 12 рублей. При покупке более 30 пирожков продавец делает скидку 5% от стоимости всей покупки. Покупатель купил 40 пирожков. Сколько рублей он заплатил за покупку?

Задание №1. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12500 рублей. Какую сумму он получит после вычета налога на доходы? Ответ дайте в рублях.

Задание №1. Таксист за месяц проехал 5500 км. Стоимость 1 л бензина 32 рубля. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 л. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?

Задание №1. Студент получил свой первый гонорар в размере 800 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет роз для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество роз сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, розы стоят 100 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

Задание №2 На рисунке жирными точками показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 5 по 28 марта 1996 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена золота на момент закрытия торгов была наименьшей за данный период.

Задание №2 На диаграмме показан средний балл участников 10 стран в тестировании учащихся 4‐го класса по математике в 2007 году по 100500 – бальной шкале. По данным диаграммы найдите число стран, в которых средний балл заключен между 495 и 515.

Задание №2 На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимала Индонезия?

Задание №2 На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Задание №3 Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Задание №3 Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.

Задание №3 Площадь треугольника АВС равна 28. DE – средняя линия. Найдите площадь трапеции ABDE.

Задание №3 На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Задание №4 У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.

Задание №4 Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно и не проходя дважды по одной и той же дорожке. Схема дорожек показана на рисунке. Найти вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G. Результат округлите до сотых.

Задание №4 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и замечательная, причем погода держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такая же, как сегодня. Сегодня 3 июля, и погода в Волшебной стране замечательная. Найдите вероятность того, что 5 июля погода в Волшебной стране также будет замечательная.

Задание №4 В случайном эксперименте игральный кубик бросают два раза. Найдите вероятность того, что разность выпавших очков будет меньше чем 2. Ответ округлите до сотых.

Задание №5 Решите уравнение \(7^{3x-2}\cdot7^{x-1}=7.\)

Задание №5 Найдите корни уравнения: \(\cos\frac{\pi(x-7)}{3}=\frac{1}{2}\) В ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Задание №5 Решите уравнение \(\sqrt{7-x}=x-1.\)

Задание №5 Решите уравнение \(2^{log_8{(5x-3)}}=4.\)

Задание №6 В треугольнике ABC угол C равен 90°,CH - высота, \(cosA=\frac{7}{25}\), CB = 5. Найдите BH.

Задание №6 Острые углы прямоугольного треугольника равны \(28^\circ\)и \(62^\circ.\) Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Задание №6 Угол ACO равен 28°, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Задание №6 Радиус окружности равен 19. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную \(19\sqrt{2}.\). Ответ дайте в градусах.

Задание №7 Прямая y=-4x+15является касательной к графику функции \(y = x^3-6x^2+8x+7.\) Найдите абсциссу точки касания.

Задание №7 На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) .Функция \(F(x)=2x^3-54x^2+488x-\frac{3}{4}\)— одна из первообразных функции. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Задание №7 На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

Задание №7 Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t)=\frac{1}{2}t^4+4t^3-3t-21\) x(t) (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 1 c.

Задание №8 Высота правильной треугольной пирамиды втрое меньше стороны основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. Ответ дайте в градусах.

Задание №8 В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12,объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Задание №8 Объем правильной шестиугольной призмы равен 180. Сначала каждое ее боковое ребро увеличили в два раза, а затем каждую сторону каждого основания уменьшили в три раза. Найдите объем полученной призмы.

Задание №8 Площадь боковой поверхности конуса равна 16. Радиус основания конуса уменьшили в 4 раза, а образующую увеличили в 2 раза. Найдите площадь боковой поверхности получившегося конуса.

Задание №9 Найдите значения выражения \(log_4{11}\cdot{log_{11}{16}}.\)

Задание №9 Найдите значения выражения:\(\log_\frac{4}{25}(\log_{4}32)\)

Задание №9 Найдите значения выражения \(7cos(\pi+\alpha)-2sin(\frac{\pi}{2}+\alpha),\)если \(cos\alpha=-\frac{1}{3}.\)

Задание №9 Найдите значения выражения 3p(x-4)-p(3x),если p(x)=4x+2.

Задание №10 Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a. Скорость вычисляется по формуле \(v=\sqrt{al},\) гдеl-пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 250 метров, приобрести скорость 60 км/ч.

Задание №10 Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде \(pV^a=const,\) где p (Па) – давление в газе, V– объeм газа в кубических метрах, a – положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в два раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?

Задание №10 При нормальном падении света с длиной волны \(\lambda = 450\)нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол \(\varphi\) (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением \(dsin{\varphi}=k\lambda\). Под каким минимальным углом \(\varphi\) (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1800 м?

Задание №10 Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f=30 см. Расстояние \(d_1\)- от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние \(d_2\)от линзы до экрана – в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \(\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}\)Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

Задание №11 Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

Задание №11 Три числа составляют арифметическую прогрессию. Если первые два оставить, а к третьему прибавить сумму двух первых, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

Задание №11 Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

Задание №11 Игорь и Паша могут покрасить забор за 9 часов. Паша и Володя могут покрасить этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?

Задание №12 Найдите наибольшее значение функции \(y=(x+6)^2e^{-4-x}\) на отрезке[-6;-1].

Задание №12 Найдите точку максимума y=10xcosx-7cosx-10sinx-4,принадлежащую промежутку\((0;\frac{\pi}{2}).\)

Задание №12 Найдите наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции \(y=e^{2x}-6e^x+3\) на от­рез­ке [1; 2].

Задание №12 Найдите наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции \(y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-12x+11\) на от­рез­ке [137; 156].