Школьный этап викторины «Математический олимп»

Дан равносторонний треугольникABC.Провели прямую, которая пересекла сторону треугольникаABв точке \(C_{1},\)сторонуBCв точке\(A_{1},\)а продолжение стороныACв точке\(B_{1}.\)Известно, что \(\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{5}{2}.\)Найдите значение\(\frac{AC}{CB_1}.\)

В треугольникеABCпроведены биссектрисаALи медианаAM.Найдите длину отрезкаLM,еслиAB=4,BC=5,AC=6.

Ира, Вера и Полина зашли в ресторан «Вкусно — и точка» и купили две коробки наггетсов по 240 рублей за коробку (в коробке лежат 9 наггетсов). Ира заплатила 200 рублей, Вера — 280 рублей, а потом они втроём съели все наггетсы. Расходы решили разделить поровну. Сколько рублей Полина должна отдать Вере?

Монету бросают 5 раз. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно 4 раза?

Найдите сумму натуральных значений переменнойx,удовлетворяющих условию\(\mid x - 3 \mid = 3 -x.\)

Решите уравнение\(x^2 + y^2 - 2x +6y = 0\)в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выраженияx - 3y.

Даны функции\(f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{если } x < 6 \\ 2x^2, & \text{если } x \geq 6 \end{cases}\) и \(g(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 3 \\ x - 4, & \text{если } x \geq 3. \end{cases}\)Найдитеf(g(6)).

Решите неравенство\(\frac{4}{x}\le4 - x.\)В ответ запишите сумму целых решений неравенства, принадлежащих промежутку [-6; 6].

Найдите наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее следующим условиям: сумма его цифр равна 15, а сумма квадратов его цифр равна 89; если из этого числа вычесть 99, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Соне в три раза больше лет, чем было Боре тогда, когда Соне было столько лет, сколько Боре сейчас. Когда Боре будет столько лет, сколько Соне сейчас, им обоим вместе будет 28 лет. Сколько сейчас лет Соне?