СПО. Применение координатного и векторного метода при решении задач

Пусть вектор \(\vec{m}\{x;y;z\}\)— направляющий вектор прямой m,вектор \(\vec{p}\{a;b;c\}\)— вектор нормали к плоскости \(\alpha, \varphi\)— угол между прямой mи плоскостью \(\alpha.\)Укажите формулу, которая используется для нахождения угла между прямой mи плоскостью \(\alpha.\)

Пусть ax+by+cz+d=0— уравнение плоскости \(\vec{m}\{x_0;y_0;z_0\}\)\(\alpha,\)— направляющий вектор прямой \(m, \varphi\)— угол между прямой mи плоскостью \(\alpha.\)Укажите формулу, которая используется для нахождения угла между прямой mи плоскостью \(\alpha.\)

Пусть \(a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\)— уравнение плоскости \(a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\)\(\alpha,\)— уравнение плоскости \(\beta,\varphi\)— угол между плоскостями \(\alpha\)и \(\beta.\)Укажите формулу, которая используется для нахождения угла между плоскостями \(\alpha\)и \(\beta.\)

Пусть вектор \(\vec{m}\{x_1;y_1;z_1\}\)— направляющий вектор прямой \(\vec{n}\{x_2;y_2;z_2\}\)m,— направляющий вектор прямой \(n, \varphi\)— угол между прямыми mи n.Укажите формулу, которая используется для нахождения угла между прямыми mи n.

Куб, ребро которого равно 5, помещён в прямоугольную систему координат Mxyz(см. рисунок). По данным рисунка найдите косинус угла \(\varphi\) между прямыми ABи MN.В ответ запишите произведение \(\sqrt{39}\cos{\varphi}.\)

Правильная четырёхугольная пирамида SABCD,высота SOкоторой равна 5,а диагональ основания равна 10,помещена в прямоугольную систему координат Oxyz(см. рисунок). По данным рисунка найдите косинус угла \(\alpha\)между прямыми ANи SM,где точки Mи N— середины рёбер ABи CDсоответственно. В ответ запишите произведение \(\sqrt{15}\cos{\alpha}.\)

Куб, ребро которого равно 5, помещён в прямоугольную систему координат Oxyz,где \(O\in{CD},OC=2,M\in{AB},MA=3\)(см. рисунок). По данным рисунка найдите синус угла \(\alpha\)между прямой KMи плоскостью (AFC).В ответ запишите произведение \(\sqrt{102}\sin{\alpha}.\)

Правильная четырёхугольная пирамида SABCD,высота SOкоторой равна 5,а диагональ основания равна 8,помещена в прямоугольную систему координат Oxyz(см. рисунок). По данным рисунка найдите синус угла \(\beta\)между прямой SNи плоскостью (BSD),где N— середина ребра AB.В ответ запишите произведение \(\sqrt{33}\sin{\beta}.\)

Куб, ребро которого равно 4, помещён в прямоугольную систему координат Oxyz,где \(O\in{FD},OF=1.\)По данным рисунка найдите косинус угла \(\varphi\)между плоскостями (ACD)и (ABD).В ответ запишите произведение \(\sqrt{3}\cos{\varphi}.\)

Правильная четырёхугольная пирамида SABCD,высота SOкоторой равна 4,а диагональ основания равна 8,помещена в прямоугольную систему координат Oxyz(см. рисунок). По данным рисунка найдите косинус угла \(\alpha\)между плоскостями (SDC)и (SMN),где M— середина ребра \(AB,N\in{AD},AN:ND=3:1.\)В ответ запишите произведение \(\sqrt{105}\cos{\alpha}.\)