Свойства делимости целых чисел

Докажите утверждение, заполнив пропуски. Если хотя бы один из множителей произведения делится на данное число, то и произведение делится на это число. Доказательство Пусть в двух множителей a · b один из множителей, например a, делится на с, т. е. a = · k, k ∊ . Умножим обе части последнего равенства на b. Получим, что a · = ( c · k ) · b = c · (b · ) = c · , где m ∊ N. Из равенства · b = c · m и следует, что a · b делится на с. Что и требовалось доказать.

Выполните классификацию утверждение.

Сумма двух целых чисел равна101,а разность их квадратов является простым числом. Найдите большее число.

При каких натуральных значенияхn выражение\(\large\frac{n^2+3n-2}{n+2}\)является целым числом. Если значений несколько, запишите сумму этих значений.

Докажите, что при любом натуральном значенииnвыражение\(15^n-1\)кратно7.Заполните пропуски в решении задания. Доказательство Доказывать будем методом математической . 1) База индукции. При n = 1 получим 151 - 1 = 14, ⋮ 7 — . 2) Предположим, что данное выражение верно при n =, т. е. ( 15k - 1 ) ⋮ 7. 3) Докажем, что это условие верно при n = , т. е. ( 15k+1 - 1 ) ⋮ 7. Рассмотрим выражение 15k+1 - 1 = 15k · 15 - 1 = 15k · 15 - 15 + = · ( 15k - 1 ) + 14. Первое слагаемое делится на, используя предположение индукции, а 14 : 7 = . Используя свойства делимости натуральных чисел, получим, что сумма двух слагаемых делится на 7. Значит, на основе принципа математической индукции выражение 15n - 1 кратно 7 при любом n ∈ . Что и требовалось доказать.

Выберите верные утверждения.

Докажите, что\(n\cdot(n^2-4)\cdot(n^2-1)\)делится на120.Заполните пропуски в решении задачи. Доказательство Преобразуем выражение n · ( n2 - 4 ) · ( n2 - 1) = n · ( n - 2 ) · ( n + 2 ) · ( n - 1 ) · ( ). Получили произведение последовательных целых чисел. Среди любых последовательных 5 целых чисел всегда есть число, которое делится на , есть число, которое делится на 5, а также всегда есть два последовательных чётных числа. Значит при любом n ∊ Z данное выражение делится на 3, делится на 5, делится на , следовательно, оно делится и на .

На доске записаны11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно8, а среднее арифметическое семи наибольших равно14. Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех11 чисел. В ответе запишите число, умноженное на11.

Найдите остаток от деления числа10!+49на42.

Найдите все натуральныеn, при которых число\(\large\frac{6n^2+2n+1}{3n+1}\)является целым числом. В ответе запишите сумму всех этих значений.