Свойства соотношения углов и катетов прямоугольного треугольника

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Пусть в треугольнике ABC ∠ C = 90°, ∠ A = α, ∠ B = β. Проведём так, что ∠ ACM = α, и докажем, что CM — медиана и что CM = 0,5AB. Угол B дополняет угол A до , а ∠ BCM дополняет . Поскольку ∠ ACM = ∠ A = α, то ∠ BCM = β. Треугольники AMC и BMC — по признаку равнобедренного треугольника. Тогда и . Отсюда CM — медиана и CM = 0,5AB.

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный. Пусть CM — треугольника ABC и CM = 0,5AB. Докажем, что ∠ ACB = 90°. Обозначим ∠ A = α, ∠ B = β. Так как медиана пополам, то . Тогда CM = AM = MB. Так как треугольник AMC — , токак углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, треугольник CMB — равнобедренный и . Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна, с другой — равна 180°. Отсюда , 2(α + β) = 180°, . Но ∠ ACB = α + β, поэтому ∠ ACB = 90°.