Введение в графы. Двудольные графы

Для игры в классики на земле нарисован ряд клеток, в которые вписаны по порядку числа от 1 до 10, как на рисунке. Женя прыгнула снаружи в клетку 1, затем попрыгала по остальным клеткам (каждый прыжок — на соседнюю по стороне клетку) и выпрыгнула наружу из клетки 10. Известно, что на клетке 1 Женя была один раз, на клетке 2 — два раза, ……, на клетке 9 — девять раз. Сколько раз побывала Женя на клетке 10?

На рисунке изображён двудольный граф. Какое максимальное число рёбер можно дорисовать, чтобы граф оставался двудольным?

У девочки Ани есть несколько юбок и блузок. Она заметила, что каждая юбка подходит ровно к 3 блузкам, а каждая блузка — к 5 юбкам. Выберите утверждения, которые обязаны быть верными.

Из пяти предложенных графов выберите те, которые являются двудольными. В ответе укажите шифры выбранных ответов в порядке возрастания и без пробелов ("формат числа").

В городе есть 3 секции по шахматам: «Умный конь», «Мудрый слон» и «Бешеная ладья», в каждой секции несколько (больше одного) учеников. В рамках соревнований между секциями каждый ученик одной секции сыграл по одной партии с каждым учеником двух других секций. Известно, что между ученикам «Умного коня» и «Мудрого слона» было сыграно 56 партий, между учениками «Умного коня» и «Бешеной ладьи» — 63 партии. Сколько всего было сыграно партий?

Про некоторый класс известно, что в нём больше 30 человек, но меньше 40. Каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка — с четырьмя мальчиками. Сколько человек в классе?

Нестандартный футбольный мяч сшит из 32 лоскутов: белых шестиугольников и чёрных треугольников. Каждый лоскут чёрного цвета граничит только с лоскутами белого цвета, а каждый белый — с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько лоскутов белого цвета?

Какое наибольшее число рёбер может быть в двудольном графе на 12 вершинах?

В стране есть города и посёлки. Между некоторыми населёнными пунктами построены дороги. Известно, что есть 8 дорог, соединяющих города, и 20 дорог, соединяющих посёлки. При этом из каждого населённого пункта в посёлки выходит на одну дорогу больше, чем в города. Сколько всего населённых пунктов в стране?

Каждый из десяти гвардейцев кардинала Ришелье хоть раз вызывал на дуэль кого-нибудь из мушкетёров. Причём первый гвардеец бросал вызов на дуэль ровно один раз, второй гвардеец — ровно два раза, ……, десятый — ровно десять раз. Сколько могло быть мушкетёров, если известно, что каждый из них получал вызов на дуэль ровно пять раз?

В компании пять эльфов, пять гномов и один хоббит. У каждого эльфа по семь знакомых в этой компании, а у каждого гнома по два. Сколько знакомых в этой компании у хоббита?