Введение в теорию чисел для программистов

Для натуральных чисел a и k выполнено равенство a=8k+5. Какие сравнения из этого следуют?

Сравнение a ≡ 2 (mod 6) эквивалентно тому, что существует целое k такое, что a = X⋅k + Y, где X и Y — некоторые фиксированные натуральные числа (X ⩾ Y ⩾ 0). Чему равны X и Y?

Какие из сравнений эквивалентны тому, что целое число a делится на натуральное число m?

Найдите остаток от деления −19 на 8 в математике.

Известно, что a ≡ 12 (mod 15). При каких наименьших неотрицательных X и Y выполнены сравнения a ≡ X (mod 3) и a ≡ Y (mod 5)?

Замените a, b, c, d, e, f на числа так, чтобы получилась верная цепочка сравнений. 31000 ≡ (3a)500 ≡ b500 ≡ (b3)166 ⋅ bc ≡ d166 ⋅ e ≡ f (mod 7). В качестве ответа запишите значения b, c, f.

Найдите остаток от деления 177+277+…+10077 на 101.

Найдите остаток от деления 3099+6199 на 31.

Пусть a = 36, b = −4, c = 5. Найдите остаток от деления на 11 выражения \((a - b )\cdot c + b\ \cdot c\ - (a\ +\ b\ \cdot c^2)\cdot(a\ +\ b\ +\ 1).\)

Найдите остаток от деления числа 3100 на число 28.

Замените a, b, c, d, e, f на числа так, чтобы получилась верная цепочка сравнений. 9123 ≡ a123 ≡ −b123 ≡ −(b5)24 ⋅ bc ≡ −d24 ⋅ e ≡ f (mod 11). В качестве ответа запишите значения a, b, f.

Найдите остаток от деления 1 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 101 + 2 ⋅ 4 ⋅ … ⋅ 102 на 103.

Найдите 4−1 (mod 11).

Заполните таблицу остатками от деления числа 2100 на число, указанное в заголовке столбца.

Чему равна длина минимального периода остатков степеней двойки по модулю 24?

Чему равна длина минимального периода остатков степеней тройки по модулю 17?