Задание № 8 ЕГЭ-2023

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле \(A(\omega)=\frac{A_0 \omega_p^2}{|\omega_p^2- \omega^2|}\), где \(\omega\)— частота вынуждающей силы (в c\(^{-1}\)), \(A_0\) — постоянный параметр,\(\omega_p=360\)c\(^{-1}\) — резонансная частота. Найдите максимальную частоту \(\omega\) , меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину \(A_0\) не более чем на 12,5% . Ответ выразите в c\(^{-1}\) .

Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна\(P=m(\frac{v^2}{L}-g)\), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведeрка в м/с, L — длина верeвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g=10м/с\(^2\)). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0=57\)км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a=12 км/ч\(^2\). Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением \(S=v_0t+\frac{at^2}{2}\). Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.

Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре \(C=2 \cdot 10^{-6}\) Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением \(R=5 \cdot 10^6\) Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе \(U_0=16\) кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением \(t=\alpha RClog_2 \frac{U_0}{U}\) (с), где \(\alpha=0,7\) — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 21 с. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m=1260тонн представляют собой две пустотелые балки длиной l=18метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой \(p=\frac{mg}{2ls}\), где m — масса экскаватора (в тоннах), l — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g=10м/с\(^2\)). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой \(y=ax^2+bx\), где \(a=-\frac{1}{100}\)м\(^{-1}\), b=1 — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий \(\nu =2\) моля воздуха при давлении \(p_1=1,5\) атмосферы, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A=\alpha \nu T log_2 \frac{p_2}{p_1}\) (Дж), где \(\alpha =5,75\) — постоянная, T=300 К — температура воздуха, \(p_1\) (атм) — начальное давление, а \(p_2\) (атм) — конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления \(p_2\) можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 6900 Дж? Ответ приведите в атмосферах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: \(F_A=\rho g l^3\), где l — длина ребра куба в метрах, \(\rho=1000\) кг/м\(^3\)— плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g=9,8Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78400 Н? Ответ выразите в метрах.

Катер должен пересечь реку шириной L=100 м и со скоростью течения u=0,5 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t=\frac{L}{u}ctg\alpha\), где \(\alpha\) — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\alpha\) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле \(P=\frac{4mg}{\pi D^2}\), где m=1200 кг — общая масса навеса и колонны, D — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения g=10 м/с\(^2\), а \(\pi = 3\), определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400000 Па. Ответ выразите в метрах.