Задание № 8 ЕГЭ-2023 по математике

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела \(\normalsize P\), измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры: \(\normalsize {P=\sigma ST^4}\) , где \(\normalsize \sigma=5,7\cdot10^{-8}\)– постоянная, площадь \(\normalsize S\) измеряется в квадратных метрах, а температура \(\normalsize T\) – в градусах Кельвина. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\normalsize {S=\dfrac{1}{81}\cdot10^{21}}\) м2, а излучаемая ею мощность \(\normalsize P\) не менее \(\normalsize 9,12\cdot10^{26}\) Вт. Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.

Сила тока в цепи \(\normalsize I\) (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: \(\normalsize {I=\dfrac{U}{R}}\), где \(\normalsize U\) – напряжение в вольтах, \(\normalsize R\)– сопротивление электроприбора в Омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает \(\normalsize {2,5A}.\)Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в Омах.

Независимое агенство намерено ввести рейтинг новостных - интернет изданий на основе оценок информативности\(\normalsize {In}\) , оперативности \(\normalsize {Op}\), объективности публикаций \(\normalsize {Tr}\), а также качества сайта \(\normalsize Q\). Каждый отдельный показатель - целое число от 0 до 4. Составители рейтинга считают, что объективность ценится вчетверо, а информативность публикаций – вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид \(\normalsize {R=\dfrac{2In+Op+4Tr+Q}{A}}.\)Найдите, каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг 1.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием\(\normalsize {f=60}\)см. Расстояние\(\normalsize {d_{1}}\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 100 до 120 см, а расстояние \(\normalsize {d_{2}}\) от линзы до экрана — в пределах от 120 до 140 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение \(\normalsize {\dfrac{1}{d_{1}} +\dfrac{1}{d_{2}}=\dfrac{1}{f}}\) Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чeтким. Ответ дайте в сантиметрах.

Груз массой 0,8 кг колеблется на пружине. Его скорость \(\normalsize v\) меняется по закону \(\normalsize {v=v_{0}\sin\dfrac{2\pi t}{T}}\), где \(\normalsize t\)- время с момента начала колебаний, \(\normalsize {T=12}\)сек - период колебаний, \(\normalsize {v_{0}= 0,9}\)м/с. Кинетическая энергия Е (в джоулях) вычисляется по формуле \(\normalsize {E = \dfrac{mv^2}{2}}\), где \(\normalsize {m -}\)масса груза в килограммах , \(\normalsize {v-}\)скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 10 сек после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени \(\normalsize {v=4}\)моля воздуха объемом \(\normalsize {V_{1}=14}\)л, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма \(\normalsize {V_{2}}\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(\normalsize {A=\alpha vT\log_{2}\dfrac{V_{1}}{V_{2}}}\) , где \(\normalsize {\alpha=11,6}\) постоянная, а \(\normalsize {T=300 K}\)− температура воздуха. Какой объем \(\normalsize {V_{2}}\) (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 27840 Дж?

Небольшой мячик бросают под острым углом \(\normalsize \alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле \(\normalsize {L=\dfrac{v_{0} ^2}{g}\sin 2\alpha}\)(м), где \(\normalsize{v_{0}=12}\) м/с − начальная скорость мячика, а \(\normalsize {g}\) − ускорение свободного падения (считайте \(\normalsize {g=10}\)м/с 2 ). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 14,4 м?

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(\normalsize {m(t)=m_{0}\cdot2^{-\frac{t}{T}}}\) , где \(\normalsize {m_{0}}\)(мг) − начальная масса изотопа, \(\normalsize t\) (мин.) − время, прошедшее от начального момента, \(\normalsize T\)(мин.) − период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 188 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 47 мг.

Наблюдатель находится на высоте \(\normalsize h\) , выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле \(\normalsize {l = \sqrt{\dfrac{Rh}{500}}}\) , где \(\normalsize {R=6400}\) км – радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 8 километров? Ответ выразите в метрах.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону \(\normalsize {h(t)=1,4+14t-5t^2,}\) , где \(\normalsize{h}\) – высота в метрах, \(\normalsize{t}\)– время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 8 метров?