Задание №8 ЕГЭ-2023 по математике

Расстояние (в километрах) от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте hкм над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле \(l=\sqrt{2Rh}\), где R = 6400 км — радиус Земли. На какой наименьшей высоте следует располагаться наблюдателю, чтобы он видел горизонт на расстоянии не менее 4 километров? Ответ выразите в метрах.

Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене р = 600 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v= 300 руб., постоянные расходы предприятия f = 700 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия, выраженная в рублях, вычисляется по формуле \(\pi(q)=q(p-v)-f\). Определите наименьший месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 500 000 руб.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1 + 11t — 5t2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров?

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой fo = 590 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону \(f(v)=\frac{f_o}{1-\frac{v}{c}}\) , где с — скорость звука в воздухе (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы (считайте, что с = 300 м/с). Ответ выразите в м/с.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m(t) = m_o\cdot{2^{^-\frac{t}{T}}}\), где \(m_o\)— начальная масса изотопа, t — время, прошедшее от начала распада, Т— период полураспада в минутах. В лаборатории получили газ, содержащий\(m_o\)= 40 мг изотопа азота-13, период полураспада которого T = 10 мин. В течение скольких минут масса изотопа азота-13 будет не меньше 5 мг?

Для обогрева помещения, температура в котором\(T_\pi\)= 20°С, через радиатор пропускают горячую воду температурой Тв = 100°С. Через радиатор проходит m = 0,4 кг/с воды. Проходя по радиатору расстояние х = 84 м, вода охлаждается до температуры Т (°C), причём \(x=\alpha\frac{cm}{\gamma}\log_{2}{\frac{T_{\tiny{B}}-T_\pi}{T-T_\pi}}\) , где с = 4200 (Дж/(кг*оС)— теплоёмкость воды, у = 42 (Вт/оС)— коэффициент теплообмена, а \(\alpha=0,7\)— постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода?

При температуре 0°С рельс имеет длину l =10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l(t^o)=l_o(1+\alpha\cdot{t^o})\), где \((^{o}C)^{-1}\)\(\alpha=1,2\cdot10^{-5}\)− коэффициент теплового расширения, t°— температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна \(P=m(\frac{v^2}{L}-g)\), где m — масса воды в килограммах, v— скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте, что g = 10 м/с2). С какой минимальной скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 0,4 м? Ответ выразите в м/с.

При бросании мяча под острым углом а к плоской горизонтальной поверхности земли его время в полёте, выраженное в секундах, равно \(t=\frac{2v_o\sin\alpha}{g}\). При каком наименьшем значении угла \(\alpha\)(в градусах) время в полёте будет не меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью \(v_o\)= 30 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

На верфи инженеры проектируют новый подводный зонд для изучения морских глубин. Конструкция будет крепиться ко дну при помощи троса. Зонд имеет кубическую форму, а значит, сила натяжения троса определяется по формуле Т = pgl3 - mg, где I —линейный размер аппарата в метрах, р = 1000 кг/м3 — плотность воды, g —ускорение свободного падения (считайте, что g = 10 Н/кг), а m = 112 кг — масса зонда. Каковы могут быть максимальные линейные размеры зонда, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда сила натяжения троса будет не больше чем 4000 Н? Ответ выразите в метрах.