Задание № 8 ЕГЭ-2023 по математике. Все типы задач

Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене p = 600 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют υ = 300 руб., постоянные расходы предприятия f = 700 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле g(q) = q(p − υ) − f. Определите месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 500 000 руб.

При температуре \(0^0C\) рельс имеет длину \(l_0=10\) м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l(t_0)=l_0(1+\alpha \cdot t_0)\), где \(\alpha=1,2 \cdot10^{-5} (^0C)^{-1}\) — коэффициент теплового расширения, \(t_0\) — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону \(H(t)=H_0-\sqrt{2gH_0} kt+\frac{g}{2} k^2 t^2\), где t − время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, \(H_0=20\) − начальная высота столба воды, \(k=\frac{1}{50}\) − отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g − ускорение свободного падения (считайте g=10 м/с\(^{2}\)). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f=30 см. Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \(\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}\). Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле \(A(\omega)=\frac{A_0 \omega ^2_p}{|\omega ^2_p-\omega ^2|}\), где \(\omega\) − частота вынуждающей силы (в \(c^{-1}\)), \(A_0\) − постоянный параметр, \(\omega_p=360 c^{-1}\) − резонансная частота. Найдите максимальную частоту \(\omega\), меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину \(A_0\) не более чем на 12,5% Ответ выразите в \(c^{-1}\).

Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле \(l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}\), где R=6400 км — радиус Земли, h - высота, на которой находится наблюдатель, выраженная в метрах. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километров? Ответ выразите в метрах.

Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч\(^2\), вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2 l a}\). Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч\(^2\).

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением \(p_1V_1^{1,4}=p_2V_2^{1,4}\), где \(p_1\) и \(p_2\) — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, \(V_1\) и \(V_2\) — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 256 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением \(p V^{1,4}=const\), где p (атм.) − давление газа, V − объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 1,6 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени \(\nu=3\) моль воздуха объeмом \(V_1=8\) л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма \(V_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A=\alpha \nu T \log_2 {\frac{V_1}{V_2}}\) (Дж), где \(\alpha=5,75\) − постоянная, а T = 300 K − температура воздуха. Какой объeм \(V_2\) (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10 350 Дж?

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре \(C=2\cdot10^{-6}\) Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением \(R=5\cdot10^6\) Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе \(U_0=16\) кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением \(t=\alpha R C \log_2{\frac{U_0}{U}}\) (с), где \(\alpha=0,7\) − постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 21 с. Ответ дайте в киловольтах.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \(U=U_0\sin(\omega t+\varphi)\), где t − время в секундах, амплитуда \(U_0=2\) В, частота \(\omega=120^0\)/с, фаза \(\varphi=-30^0\). Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

При нормальном падении света с длиной волны \(\lambda=400\) нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол \(\varphi\) (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением \(d\sin \varphi=k \lambda\). Под каким минимальным углом \(\varphi\) (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель − целое число от –2 до 2. Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид \(R=\frac{5In+Op+3Tr+Q}{A}\). Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число A, при котором это условие будет выполняться.