Задание 8 ЕГЭ по математике на профильном уровне

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f=20 см. Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 15 до 40 см, а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана — в пределах от 100 до 120 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \(\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}\) Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону\(H(t)=at^2+bt+H_0\), где H— высота столба воды в метрах, \(H_0\) =8 м — начальный уровень воды, \(a=\frac{1}{72}\)м / мин\(^2\) и \(b=-\frac{2}{3}\) м / мин — постоянные, t— время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону \(h(t)=2+11t-5t^2\) , где h -высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров?

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a=3000км/ч\(^2\). Скорость vвычисляется по формуле \(v=\sqrt {2la }\),где lпройденный автомобилем путь. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 60 км/ч.

Водолазный колокол, содержащий υ=3 моль воздуха при давлении \(p_1=1,2\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\) (в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \(A=avTlog_2\frac{p_2}{p_1}\), гдеa=9,15Дж/(моль\(\cdot K)\) — постоянная, T=300 K— температура воздуха. Найдите, какое давление \(p_2\) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 16 470 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле \(l=\sqrt \frac{Rh}{500}\) , где R=6400 км — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 64 километра? Ответ дайте в метрах.

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет \(R_1\) =36 Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого \(R_2\) (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями \(R_1\) и \(R_2\) их общее сопротивление R вычисляется по формуле \(R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\). Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя. Ответ дайте в омах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_0=192\)Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза v(в м/с) по закону \(f(v)= \frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}\) (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c=300 м/с. Ответ дайте в м/с.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \(pV^k=6,4\cdot 10^6\)Па⋅м\(^5\), где p — давление в газе (в Па), V - объём газа (в м\(^3\)), \(k=\frac{5}{3}\). Найдите, какой объём V(в м\(^3\)) будет занимать газ при давлении p, равном \(2\cdot10^5\)Па.

Груз массой 0,4кг колеблется на пружине. Его скорость v (в м/с) меняется по закону \(v=v_0cos\frac{2\Pi t}{T}\), где t — время с момента начала наблюдения в секундах, T=2с — период колебаний, \(v_0=0,5\) м /​с. Кинетическая энергия E (в Дж) груза вычисляется по формуле \(E=\frac{mv^2}{2}\), где m— масса груза (в кг), v— скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через 60 секунд после начала наблюдения. Ответ дайте в джоулях.