Задание ЕГЭ № 1. Профильный уровень. Планиметрия, окружности. Вариант 2

Окружности радиусов 13 и 20 с центрами О1 и О2 соответственно касаются внутренним образом в точке К. Радиусы окружностей МО1 и NО2 проведены параллельно друг другу по одну сторону от прямой, содержащей отрезок О1О2 так, что угол MО1О2 равен 120о. Найдите MN.

Радиусы окружностей с центрами О1 и О2 равны соответственно 1 и 8. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой О1О2 , если О1О2 = 21.

Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него симметрично относительно оси симметрии треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых ещё вписана в угол треугольника. Найдите радиус этих окружностей.

Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 10, а отношение катетов треугольника равно 5 : 12.

Окружности радиусов 13 и 20 с центрами О1 и О2 соответственно касаются внешним образом в точке С. Радиусы окружностей АО1 и ВО2 проведены параллельно друг другу по разные стороны от прямой, содержащей отрезок О1О2 так, что угол АО1О2 равен 60о. Найдите АВ.

В каком отношении точка касания вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит его боковую сторону, если известно, что отношение радиусов его вписанной окружности и окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, равно 1 : 5? Впишите ответ, соответствующий отношению длины меньшего отрезка к длине большего отрезка.

Косинус угла при основании равнобедренного треугольника равен отношению 5 : 13, а боковая сторона равна 39. Внутри треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию, основания которой равны 18 и 50. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

Основание равнобедренного треугольника равно 40, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 24. Внутри треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Периметр равнобедренной трапеции равен 136. Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, причём боковая сторона делится точкой касания в отношении 9 : 25. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади трапеции к площади этого треугольника.