Задание ЕГЭ № 9. Профильный уровень. Вариант 1

Для обогрева помещения, температура в котором равна Tp = 20° C, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой Tv = 60° C. Расход проходящей через трубу воды m = 0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры T (° C), причём \(dx=\alpha\dfrac{cm}{\gamma}\log_{2}\frac{{T_v}-{T_P}}{T-{T_p}}\)(м), где с = 4200 Дж/(кг ⋅ ° C) – теплоёмкость воды, \(\gamma=21\)Вт/(м ⋅ ° C)– коэффициент теплообмена, а \(\alpha=0,7\)– постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охлаждается вода, если длина трубы 84 м?

Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скоростьvменяется по закону\(v=v_0\cos\dfrac{2{\pi}t}{T},\)где t — время с момента начала колебаний, T = 2 с — период колебаний,\(v_0=0,5\)м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле\(E=\dfrac{mv^2}{2},\)где m — масса груза в килограммах,v— скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от -2 до 2. Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид \(R=\dfrac{5In+Op+3Tr+Q}{A}.\)Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число A, при котором это условие будет выполняться.

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m = 1260 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной l = 18метров и ширинойs метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой \(p=\dfrac{mg}{2ls}\), где m— масса экскаватора (в тоннах), l— длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g = 10м/с2). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле:\(F_A={\alpha\rho}gr^3,\)где\(\alpha=4,2\)— постоянная,r— радиус аппарата в метрах,\(\rho=1000\)кг/м3 — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336 000 Н? Ответ выразите в метрах.

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 2 ⋅ 10-6 Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением R = 5 ⋅ 10 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U0 = 16 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением \(t=\alpha{RC\log_{2}}\dfrac{U_0}{U}\)(с), где \(\alpha=0,7\)— постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 21 с?

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m = 8 кг и радиуса R = 10 см, и двух боковых с массами M = 1 кг и с радиусами R + h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг\(\cdot\)см2 , задаётся формулой \(I=\dfrac{(m+2M)R^2}{2}+M(2Rh+h^2).\)При каком максимальном значенииhмомент инерции катушки не превышает предельного значения? Ответ выразите в сантиметрах.

Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой mv (в килограммах) от температуры t1 до температуры t2 (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы mdr кг. Он определяется формулой\(\eta=\dfrac{c_v\cdot{m_v}(t_2-t_1)}{q_{dr}\cdot{m_{dr}}},\)где\(c_v=4,2\cdot10^3\)Дж/(кг ⋅ К) — теплоёмкость воды, \(q_{dr}=8,3\cdot10^6\)Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть m = 83 кг воды от 10° C до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше 21 %. Ответ выразите в килограммах.

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле \(A(\omega)=\dfrac{A_0\omega_{p}^{2}}{\omega_{p}^{2}-\omega^2},\)где\(\omega\)— частота вынуждающей силы (в c-1), A0 — постоянный параметр,\(\omega_{p}=360 c^{-1}\)— резонансная частота. Найдите максимальную частоту\(\omega,\)меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A0 не более чем на 12,5 %. Ответ выразите в c-1.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону\(H(t)=H_0-\sqrt{(2gH_0 )} kt+\dfrac{gk^2 t^2}{2},\)гдеt— время в секундах, прошедшее с момента открытия крана,\(H_0=20\)м — начальная высота столба воды в метрах,\(k=\dfrac{1}{50}\)— отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g– ускорение свободного падения (считайте g = 10м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?