Задание ЕГЭ № 9. Профильный уровень. Вариант 3

Катер должен пересечь реку шириной L = 100 м и со скоростью течения u = 0,5 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением\(t=\dfrac{L}{u}\ctg\alpha,\)где\(\alpha\)— острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом\(\alpha\)(в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью\(v_0 = 57\)км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорениемa = 12км/ч2. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением\(S=v_0t+\dfrac{at^2}{2}.\)Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.

При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону\(l=l_0\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}},\)гдеl=5м — длина покоящейся ракеты,\(c = 3 \cdot10^5\)км/с — скорость света, а v— скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле\(R=r_p-\dfrac{r_p-r_e}{(K+1)^m},\)где\(r_p\)\(m =\dfrac{0,02K}{r_p+0,1},\)– средняя оценка магазина покупателями,\(r_e\)– оценка магазина, данная экспертами, K — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 24, их средняя оценка равна 0,86, а оценка экспертов равна 0,11.

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле\(P=\dfrac{4mg}{\pi{D^2}},\)гдеm=1200кг – общая масса навеса и колонны,D— диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного паденияg = 10м/с2 и\(\pi=3,\)определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно превышать 400000Па. Ответ выразите в метрах.

Операционная прибыль предприятия за краткосрочный период вычисляется по формулеh(q)=q(p-m)-k.Компания продаёт свою продукцию по ценеp = 8000рублей за штуку, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляютm = 2000рублей, постоянные расходы предприятияk = 10500000рублей в месяц. Определите наименьший объём производстваq(шт.), при котором прибыль предприятия будет не меньше 1500000 рублей в месяц.

В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону\(m(t)=m_0\cdot{2^{-t/T}},\)где m0 — начальная масса изотопа, t (мин) — прошедшее от начального момента время, T — период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени m0 = 40 мг изотопа Z, период полураспада которого T = 10 мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 5 мг?

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени\(\nu=3\)моля воздуха объёмом V1 = 8 л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма V2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением\(A=\alpha\nu{T}\log_{2}\dfrac{V_1}{V_2}\)в Дж, где \(\alpha=5,75\)постоянная, а T = 300 К — температура воздуха. Какой объём V2 (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж?

Очень легкий заряженный металлический шарик зарядом\(q=2\cdot10^{-6}\)Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляетv=5м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукцииBкоторого лежит в той же плоскости и составляет угол\(\alpha\)с направлением движения шарика. Значение индукции поля\(B=4\cdot10^{-3}\)Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная\(F_l=qvB\sin\alpha\)(Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла\(\alpha\in[0^\circ;180^\circ]\)шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила Лоренца была не менее чем\(2\cdot10^{-8}\)Н? Ответ дайте в градусах.

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, определяется формулой \(M=NIBl^2\sin\alpha\)(в Н\(\cdot\)м), где I=2 A— сила тока в рамке,\(B=3\cdot10^{-3}\)Тл — значение индукции магнитного поля, l=0,5м — размер рамки, N=1000— число витков провода в рамке,\(\alpha\)— острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла\(\alpha\)(в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий моментMбыл не меньше 0,75 Н\(\cdot\)м?